1.已知 y=f(x) 满足方程 e^{x+y}-2xy=e

求极限 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(y-1)sin(ex)}{\sqrt{1+2x^2}-1}}

看到 \sqrt{1+2x^2} 这种结构很容易想到用等价无穷小去做

将 x=0 带入条件式中，解得 y=1

\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(y-1)sin(ex)}{\sqrt{1+2x^2}-1}}=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(y-1)ex}{x^2}}=e\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{y-1}{x-0}}=ef'(0)

对条件式子两边求导 (1+y')e^{x+y}-2(y+xy')=0

令 x=0 ，式子变为 (1+f'(0))e-2=0 ,即 f'(0)=\frac{2}{e}-1

可知原式 =2-e

2.已知 a,b,c>0 ,求下列极限 lim_{x\rightarrow0}({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}})^{\frac{1}{x}}

遇到指数上有变量的情况，常常考虑转化为以 e 为底的指数式来进行运算

lim_{x\rightarrow0}({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}})^{\frac{1}{x}}=e^{lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}ln({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}})}

lim_{x\rightarrow0}\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}=1

lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}ln({\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}})=lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}-1)=lim_{x\rightarrow0}\frac{a(a^x-1)+b(b^x-1)+c(c^x-1)}{(a+b+c)x}

由导数定义 lim_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x-0}=a^xlna

lim_{x\rightarrow0}\frac{a(a^x-1)+b(b^x-1)+c(c^x-1)}{(a+b+c)x}=lim_{x\rightarrow0}\frac{a^{x+1}lna+b^{x+1}lnb+c^{x+1}lnc}{a+b+c}=\frac{alna+blnb+clnc}{a+b+c}

原式= e^{\frac{alna+blnb+clnc}{a+b+c}}

3.对函数 f(x),f(1)>0,f'(1) 存在，求 lim_{n\rightarrow\infty}{(\frac{f(1+\frac{1}{n})}{f(1)})^n}

lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(1+\frac{1}{n})}{f(1)}=1

原式 =lim_{n\rightarrow\infty}e^{nln\frac{f(1+\frac{1}{n})}{f(1)}}=lim_{n\rightarrow\infty}e^{n(\frac{f(1+\frac{1}{n})}{f(1)}-1)}=lim_{n\rightarrow\infty}e^{n(\frac{f(1+\frac{1}{n})-f(1)}{f(1)})}=lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{f(1)}(\frac{f(1+\frac{1}{n})-f(1)}{\frac{1}{n}})}

e^{\frac{f'(1)}{f(1)}}

1.求极限 lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt{x^2+x+1})

记 t=\frac{1}{x}

原式= lim_{t\rightarrow0^+}(\frac{\sqrt[3]{1+t+t^3}-\sqrt{1+t+t^2}}{t})=lim_{t\rightarrow0^+}(\frac{1+\frac{1}{3}(t+t^3)-1-\frac{1}{2}(t+t^2)}{t})=lim_{t\rightarrow0^+}(\frac{-\frac{1}{6}t-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3}{t})=-\frac{1}{6}